Matematica I

Lezione 03/10/2022
Funzioni reali di una variabile reale. Espressioni analitiche e campi di esistenza. Restrizione di una funzione reale. Metodi grafici per determinare l'iniettività di una funzione reale. Grafico dell'inversa di una funzione biettiva. Intervalli reali e loro caratterizzazione. Funzioni linerari e rette del piano.     

Lezione 05/10/2022
Funzioni definite a tratti. Funzioni monotone e strettamente monotone: esempi. Restrizione di una funzione monotona è monotona. Relazione tra stretta monotonia ed iniettività. Funzione potenza n-esima: proprietà di monotonia.


Lezione 10/10/2022
Funzioni pari e funzioni dispari. Disuguaglianze con il valore assoluto. Funzione radice aritmetica n-esima. L'inversa di una funzione strettamente monotona è strettamente monotona dello stesso tipo. 




Lezione 12/10/2022
Proprietà della funzione radice aritmetica n-esima. Funzione esponenziale e proprietà di monotonia. Funzione logaritmo: proprietà di monotonia e positività.

Lezione 14/10/2022
Funzioni trigonometriche seno, coseno: proprietà di simmetria e periodicità. Funzioni tangente e cotangente: proprietà di monotonia e positività. Funzioni trigonometriche inverse arcoseno, arcocoseno, arcotangente, arcocotangente: grafici e proprietà di monotonia.



Lezione 26/10/2022 
Definizione di successioni di numeri reali. Successioni limitate ed illimitate: esempi. Successioni convergenti di numeri reali ed unicità del limite. 

Lezione 28/10/2022
Successioni divergenti: positivamente e negativamente. Successioni regolari e successioni non regolari: esempi. Verifica di limiti di successioni convergenti e divergenti. Ogni successione convergente è limitata. Ogni successione divergente è illimitata. Esempi di successioni limitate non convergenti e di successioni illimitate non divergenti. Successioni infinitesime: esempi.





Lezione 31/10/2022
Operazioni con i limiti di successioni convergenti. Teorema della permanenza del segno e sue conseguenze. Teoremi di confronto tra successioni. Il prodotto di una successione limitata per una infinitesima è infinitesima. Esempi.

Lezione 04/11/2022
Operazioni con i limiti di successioni convergenti e divergenti: forme indeterminate. Esempi. Teoremi di confronto con successioni divergenti. Alcuni limiti notevoli con esponenziale e radice. Limiti notevoli di successioni con funzioni trigonometriche.


 
Lezione 07/11/2022
Successioni estratte. Relazione tra successioni estratte e limiti di successioni regolari. Teorema di Bolzano-Weirstrass.  Definizione di successione monotona: esempi. Ogni successione monotona è regolare. Applicazioni del teorema sulle successioni monotone: il numero di Nepero. Criterio del rapporto di successioni: confronto tra infiniti.

Lezione 14/11/2022
Successioni estratte. Relazione tra successioni estratte e limiti di successioni regolari. Teorema di Bolzano-Weirstrass. Limiti di funzioni: definizione successionale. Esempi di limiti di funzioni finiti ed infiniti, al finito e all'infinito.

Lezione 21/11/2022
Limite destro e limite sinistro. Asintoti orizzontali, verticali e obliqui. Esempi di funzioni che non ammettono limite. Definizione di funzione continua in un punto: esempi. Le funzioni elementari sono continue. Algebra dei limiti di funzioni.

Lezione 28/11/2022
Discontinuità di tipo eliminabile e discontinuità di tipo salto. La funzione segno. Algebra dei limiti di funzioni: forme indeterminate. Algebra dei limiti di funzioni continue. Limiti di funzioni composte. Composta di funzioni continue è continua. Alcuni limiti notevoli.





Lezione 05/12/2022
La funzione valore assoluto è continua. Continuità a destra e a sinistra. Teorema di permanenza del segno. Teorema di esistenza degli zeri. Ricerca delle radici di equazioni trascendenti: metodo di bisezione.  Funzioni prolungabili per continuità. Teorema di Weirstrass. Funzioni inverse di funzioni strettamente monotòne e continue sono continue. Introduzione al concetto di derivata. Definizione di derivabilità in un punto. Definizione di funzione derivata. Significato geometrico e fisico di derivata. Calcolo della retta tangente ad un grafico di una funzione derivabile. Ogni funzione derivabile in un punto è ivi continua: esempio del fatto che il viceversa non vale.

Lezione 12/12/2022
Punti di non derivabilità: definizione ed esempi di punti angolosi, cuspidi e flessi a tangente verticale. Algebra delle derivate: derivata della somma, del prodotto e del rapporto. Chain rule: derivazione delle funzioni composte. Derivata delle funzioni elementari. Derivata della funzione inversa: derivata delle funzioni arcoseno, arcocoseno e arcotangente.




Lezione 14/12/2022
Regola di de l'Hôpital. Massimi e minimi relativi. Teorema di Fermat. Criterio di monotonia (crescenza/decrescenza). Convessità e concavità: criteri. Grafico qualitativo di una funzione partendo dalla sua espressione analitica. Grafico della derivata prima di una funzione di cui si conosce il grafico. 




Lezione 16/12/2022
Teoremi di Rolle e Lagrange. Definizione topologica di limite di funzioni. Serie numeriche: termine generale e successione delle somme parziali. Carattere di una serie numerica: esempi di serie convergenti, divergenti ed indeterminate. Serie geometrica: somma nel caso convergente.




Lezione 21/12/2022
Condizione necessaria per la convergenza di una serie. Serie telescopiche e serie di Mengoli. Serie a termini non negativi. Criterio del confronto tra serie. La serie armonica è divergente. Serie armonica generalizzata. Criteri di convergenza per serie a termini non negativi e a termini positivi: criterio del confronto asintotico, criterio del rapporto, criterio della radice. Convergenza assoluta. Serie assolutamente convergenti sono convergenti: il viceversa non vale. Serie a termine di segno alternato: criterio di Leibniz.