Matematica I

Lezione 29/09/2021
Funzioni reali di una variabile reale. Espressioni analitiche e campi di esistenza. Restrizione di una funzione reale. Metodi grafici per determinare l'iniettività di una funzione reale. Grafico dell'inversa di una funzione biettiva. Intervalli reali e loro caratterizzazione. Funzioni linerari e rette del piano. 

Lezione 15/10/2021 (mattina)
Funzioni definite a tratti. Funzioni monotone e strettamente monotone: esempi. Restrizione di una funzione monotona è monotona.

Lezione 15/10/2021 (pomeriggio)
Relazione tra stretta monotonia ed iniettività. Funzione potenza n-esima: proprietà di monotonia. Funzioni pari e funzioni dispari. Disuguaglianze con il valore assoluto. Somma, differenza, prodotto e rapporto di funzioni reali. Funzione radice aritmetica n-esima. 

Lezione 18/10/2021
L'inversa di una funzione strettamente monotona è strettamente monotona dello stesso tipo. Proprietà della funzione radice aritmetica n-esima. Funzioni composte e campi di esistenza. Funzione esponenziale e proprietà di monotonia. 

Lezione 19/10/2021
Funzione esponenziale e funzione logaritmo: proprietà di monotonia e positività. Funzioni trigonometriche seno, coseno: proprietà di simmetria e periodicità.

Lezione 22/10/2021 (mattina)
Funzioni tangente e cotangente: proprietà di monotonia e positività. Funzioni trigonometriche inverse: arcoseno, arcocoseno: grafici e proprietà di monotonia.



Lezione 22/10/2021 (pomeriggio)
Definizione di successioni di numeri reali. Successioni limitate ed illimitate: esempi. Successioni convergenti di numeri reali ed unicità del limite. 

Lezione 25/10/2021
Successioni divergenti: positivamente e negativamente. Successioni regolari e successioni non regolari: esempi. Verifica di limiti di successioni convergenti e divergenti. Ogni successione convergente è limitata. Ogni successione divergente è illimitata. Esempi di successioni limitate non convergenti e di successioni illimitate non divergenti. Successioni infinitesime: esempi.

Lezione 26/10/2021
Operazioni con i limiti di successioni convergenti. Teorema della permanenza del segno e sue conseguenze. Teoremi di confronto tra successioni. Il prodotto di una successione limitata per una infinitesima è infinitesima. Esempi.

Lezione 02/11/2021
Operazioni con i limiti di successioni convergenti e divergenti: forme indeterminate. Esempi. Alcuni limiti notevoli con  esponenziale e radice.

Lezione 05/11/2021
Limiti notevoli di successioni con funzioni trigonometriche. Definizione di successione monotona: esempi. Ogni successione monotona è regolare. Applicazioni del teorema sulle successioni monotone: il numero di Nepero.

Lezione 09/11/2021
Criterio del rapporto di successioni: confronto tra infiniti. Successioni estratte. Relazione tra successioni estratte e limiti di successioni regolari. Teorema di Bolzano-Weirstrass. 

Lezione 12/11/2021
Limiti di funzioni: definizione successionale. Esempi di limiti di funzioni finiti ed infiniti, al finito e all'infinito. Esempi di funzioni che non ammettono limite. Limite destro e limite sinistro. Asintoti orizzontali, verticali e obliqui.

 Lezione 16/11/2021
Definizione di funzione continua in un punto: esempi. Funzioni continue a destra o a sinistra in un punto. Algebra dei limiti di funzioni: forme indeterminate. Esempi di funzioni che non ammettono limite. Limiti di funzioni composte. Algebra dei limiti di funzioni continue. Alcuni limiti notevoli.


 Lezione 26/11/2021
Teorema di permanenza del segno. Teorema di esistenza degli zeri. Ricerca delle radici di equazioni trascendenti: metodo di bisezione.  Funzioni prolungabili per continuità. Teorema di Weirstrass. Funzioni inverse di funzioni strettamente monotòne e continue sono continue. Introduzione al concetto di derivata.

 Lezione 30/11/2021
Definizione di derivabilità in un punto. Definizione di funzione derivata. Significato geometrico e fisico di derivata. Ogni funzione derivabile in un punto è ivi continua: esempio del fatto che il viceversa non vale. Punti di non derivabilità: definizione ed esempi di punti angolosi, cuspidi e flessi a tangente verticale. Algebra delle derivate: derivata della somma, del prodotto e del rapporto. Chain rule: derivazione delle funzioni composte. Derivata delle funzioni elementari. Calcolo della retta tangente ad un grafico di una funzione derivabile.  



Lezione 07/12/2021
Derivata della funzione inversa: derivata delle funzioni arcoseno, arcocoseno e arcotangente. Regola di de l'Hôpital. Massimi e minimi relativi. Teorema di Fermat. Criterio di monotonia (crescenza/decrescenza). Convessità e concavità: criteri. Grafico della derivata prima.





Lezione 14/12/2021
Teoremi di Rolle e Lagrange. Definizione topologica di limite di funzioni. Serie numeriche: termine generale e successione delle somme parziali. Carattere di una serie numerica: esempi di serie convergenti, divergenti ed indeterminate. Serie geometrica: somma nel caso convergente. Condizione necessaria per la convergenza di una serie. 

Lezione 21/12/2021
Serie telescopiche e serie di Mengoli. Serie a termini non negativi. Criterio del confronto tra serie. La serie armonica è divergente. Serie armonica generalizzata. Criteri di convergenza per serie a termini non negativi e a termini positivi: criterio del confronto asintotico, criterio del rapporto, criterio della radice. Convergenza assoluta. Serie assolutamente convergenti sono convergenti: il viceversa non vale. Serie a termine di segno alternato: criterio di Leibniz.