Matematica I

Lezione 12/10/2020
Relazioni d'ordine in un insieme. Ordine usuale nell'insieme dei numeri reali. L'insieme dei numeri reali è un insieme totalmente ordinato rispetto all'ordine usuale. Definizione ed esempi di intervalli reali. Minoranti ed estremo inferiore di un insieme di numeri reali: esempi.


Lezione 13/10/2020
Sottoinsiemi reali limitati inferiormente o superiormente. Assioma di completezza dell'insieme dei numeri reali. Teorema di esistenza dell'estremo inferiore. Teorema di esistenza dell'estremo superiore. Funzioni reali di una variabile reale. Espressioni analitiche e campi di esistenza. Restrizione di una funzione reale. Metodi grafici per determinare l'iniettività e la suriettività di una funzione reale.

Lezione 14/10/2020
Funzioni monotone e strettamente monotone. Relazione tra stretta monotonia ed iniettività. Grafico dell'inversa di una funzione biettiva. Restrizione di una funzione monotona è monotona. Funzioni lineari. Funzione potenza n-esima: proprietà di monotonia. Funzione radice aritmetica n-esima.

Lezione 20/10/2020
Proprietà della funzione radice aritmetica n-esima. Funzione esponenziale e funzione logaritmo: proprietà di monotonia e positività (dimostrazioni nel caso con base maggiore di 1). Disuguaglianze con il valore assoluto. 

Lezione 27/10/2020
Funzioni trigonometriche seno, coseno, tangente e cotangente: proprietà di simmetria e di periodicità. Funzioni trigonometriche inverse arcoseno, arcocoseno, arcotangente: grafici e proprietà di monotonia.

Lezione 04/11/2020
Limiti di funzioni: definizione successionale e definizione topologica. Esempi di limiti di funzioni finiti ed infiniti, al finito e all'infinito. Esempi di funzioni che non ammettono limite. Limite destro e limite sinistro. Asintoti orizzontali e obliqui. Definizione di funzione continua in un punto: esempi. Funzioni continue a destra o a sinistra in un punto. Algebra dei limiti di funzioni: forme indeterminate. 

Lezione 10/11/2020
Asintoti verticali: esempi. Esempi di funzioni che non ammettono limite con funzioni trigonometriche. Limiti di funzioni composte. Algebra dei limiti di funzioni continue. Funzioni prolungabili per continuità. Alcuni limiti notevoli.

Lezione 17/11/2020
Teorema di esistenza degli zeri: metodo di bisezione. Teorema di esistenza dei valori intermedi. Teorema di Weirstrass: discussione delle ipotesi tutte necessarie. Alcuni limiti notevoli.

Lezione 02/12/2020
Introduzione al concetto di derivata. Definizione di derivabilità in un punto. Funzioni derivabili a destra e a sinistra: esempi. Ogni funzione derivabile in un punto è ivi continua: esempio del fatto che il viceversa non vale. Punti di non derivabilità: definizione ed esempi. Algebra delle derivate: derivata della somma, del prodotto e del rapporto. 

Lezione 09/12/2020
Algebra delle derivate: derivata della somma, del prodotto e del rapporto. Teorema di derivazione delle funzioni composte. 

Lezione 16/12/2020
Significato geometrico di derivata. Calcolo della retta tangente ad un grafico di una funzione derivabile. Punti di non derivabilità: definizione ed esempi di punti angolosi, cuspidi e flessi a tangente verticale. Derivata della funzione inversa: derivata delle funzioni arcoseno, arcocoseno e arcotangente. Regola di de l'Hôpital.

Lezione 22/12/2019
Massimi e minimi relativi. Teoremi di Fermat, Rolle e Lagrange. Test di monotonia. Funzioni concave e convesse: derivate seconde. Criterio di convessità e concavità: punti di flesso. Grafico qualitativo della derivata prima a partire dal grafico della funzione.



Lezione 13/01/2021
Serie numeriche: termine generale e successione delle somme parziali. Carattere di una serie numerica: esempi di serie convergenti, divergenti ed indeterminate. Serie geometrica: somma nel caso convergente. Condizione necessaria per la convergenza di una serie. La serie armonica è divergente. Approfondimento: serie telescopiche e serie di Mengoli.

Lezione 20/01/2021
Crieterio del confronto tra serie. Serie armonica generalizzata. Criteri di convergenza per serie a termini non negativi e a termini positivi: criterio del confronto asintotico, criterio del rapporto, criterio della radice. Convergenza assoluta. Serie assolutamente convergenti sono convergenti: il viceversa non vale. Serie a termine di segno alternato: criterio di Leibniz.