Matematica I

Lezione 16/09/2019
Funzioni reali di una variabile reale. Funzioni monotone e strettamente monotone. Relazione tra stretta monotonia ed iniettività. Metodi grafici per determinare l'iniettività di una funzione reale. Grafico dell'inversa di una funzione biettiva. Definizione di intervallo.

Lezione 20/09/2019
Funzione valore assoluto: disuguaglianza triangolare. Funzione potenza n-esima: proprietà di monotonia. Funzione radice aritmetica n-esima.

Lezione 27/09/2019
Funzione esponenziale e funzione logaritmo: proprietà di monotonia e positività (dimostrazioni nel caso con base maggiore di 1). 
Funzioni trigonometriche arcoseno, arcocoseno, arcotangente: grafici e proprietà di monotonia.
 
Lezione 30/09/2019
Non completezza di Q. Definizione di successioni di numeri reali. Successioni limitate ed illimitate: esempi. Successioni convergenti di numeri reali ed unicità del limite. 

Lezione 07/10/2019
Successioni divergenti: positivamente e negativamente. Successioni regolari e successioni non regolari: esempi. Verifica di limiti di successioni convergenti e divergenti. Ogni successione convergente è limitata.

Lezione 10/10/2019
Successioni infinitesime: esempi. Operazioni con i limiti di successioni convergenti. Operazioni con i limiti di successioni convergenti e divergenti: forme indeterminate. Teorema della permanenza del segno e sue conseguenze. Teoremi di confronto tra successioni. Il prodotto di una successione limitata per una infinitesima è infinitesima.

Lezione 11/10/2019
Alcuni limiti notevoli: funzione esponenziale e funzione radice. Definizione di successione monotona: esempi. Ogni successione monotona è regolare. 

Lezione 14/10/2019
Applicazioni del teorema sulle successioni monotone: il numero di Nepero. Calcolo di estremo inferiore ed estremo superiore di una successione. Criterio del rapporto di successioni: confronto tra infiniti. Limiti notevoli di successioni con funzioni trigonometriche.

Lezione 18/10/2019
Successioni estratte. Relazione tra successioni estratte e limiti di successioni regolari. Teorema di Bolzano-Weirstrass. Calcolo di estratte convergenti per successioni limitate. Successioni definite per ricorrenza. Calcolo del limite di successioni definite per ricorrenza.

Lezione 28/10/2019
Esercitazione in vista della prova intercorso.

Lezione 04/11/2019
Limiti di funzioni: definizione successionale e definizione topologica. Esempi di limiti di funzioni finiti ed infiniti, al finito e all'infinito. Esempi di funzioni che non ammettono limite. Limite destro e limite sinistro. Asintoti orizzontali, verticali ed obliqui. Definizione di funzione continua in un punto: esempi. 

Lezione 07/11/2019
Funzioni continue a destra o a sinistra in un punto. Algebra dei limiti di funzioni: forme indeterminate. Limiti di funzioni composte. Algebra dei limiti di funzioni continue. Teorema di permanenza del segno. Teorema di esistenza degli zeri. Ricerca delle radici di equazioni trascendenti: metodo di bisezione. 

Lezione 11/11/2019
Limiti notevoli. Funzioni prolungabili per continuità. Funzioni pari e funzioni dispari. Teorema di esistenza dei valori intermedi. Teorema di Weirstrass. (Secondo) Teorema di esistenza dei valori intermedi. Funzioni inverse di funzioni strettamente monotòne e continue sono continue. Introduzione al concetto di derivata. Definizione di derivabilità in un punto. Definizione di funzione derivata. Significato geometrico e fisico di derivata. 

Lezione 18/11/2019
Ogni funzione derivabile in un punto è ivi continua: esempio del fatto che il viceversa non vale. Punti di non derivabilità: definizione ed esempi di punti angolosi, cuspidi e flessi a tangente verticale. Algebra delle derivate: derivata della somma, del prodotto e del rapporto. Chain rule: derivazione delle funzioni composte. 

Lezione 25/11/2019
Derivata delle funzioni elementari. Derivata della funzione inversa. Calcolo della retta tangente ad un grafico di una funzione derivabile.   Teoremi di Fermat Rolle e Lagrange. 

Lezione 9/12/2019
Test di monotonia e stretta monotonia. Funzioni concave e convesse: derivate seconde. Criterio di convessità e concavità: punti di flesso. Grafico qualitativo della derivata prima a partire dal grafico della funzione. Regola di de l'Hôpital.

Lezione 12/12/2019
Serie numeriche: termine generale e successione delle somme parziali. Carattere di una serie numerica: esempi di serie convergenti, divergenti ed indeterminate. Serie geometrica: somma nel caso convergente. Serie telescopiche: serie di Mengoli. Condizione necessaria per la convergenza di una serie. La serie armonica è divergente. Criterio del confronto tra serie a termini non negativi.
 
Lezione 16/12/2019
Serie armonica generalizzata. Criteri di convergenza per serie a termini non negativi e a termini positivi: criterio del confronto asintotico, criterio del rapporto, criterio della radice. Convergenza assoluta. Serie assolutamente convergenti sono convergenti: il viceversa non vale. Serie a termine di segno alternato: criterio di Leibniz.

Esercizi aggiuntivi